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Spinoza et le postulat d'Euclide

 
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Vanleers
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MessagePosté le: 28/12/2013 01:58    Sujet du message: Spinoza et le postulat d'Euclide Répondre en citant

Plusieurs fois dans son œuvre, Spinoza illustre certaines thèses par la propriété du triangle d’avoir la somme de ses trois angles égale à deux droits.
Citons :

Ethique : I 17 sc. du cor.2 ; II 49 dém. et sc. ; IV 57 sc.
TRE : § 79
TTP : ch. 4 ; note sur ch. 6
Lettres 21 et 76
CT : Première partie ch. 2 dialogue second (6)

Par exemple, il écrit dans la lettre à Albert Burgh :

« Je ne prétends pas avoir trouvé la philosophie la meilleure, mais je sais que j’ai connaissance de la vraie. Me demanderez-vous comment je le sais. Je répondrai : de la même façon que vous savez que les trois angles d’un triangle égalent deux droits, et nul ne dira que cela ne suffit pas, pour peu que son cerveau soit sain […] »

Citons aussi la première occurrence dans l’Ethique (E I 17 scolie du cor. 2) :

« Mais c’est comme s’ils disaient que Dieu peut faire que de la nature du triangle il ne suive pas que ses trois angles soient égaux à deux droits ; […] »

Appelons « Propriété P » cette propriété du triangle.
Pour Spinoza, cette propriété P est parfaitement démontrée.

La démonstration est facile : elle commence ainsi (cf. Wikipédia : Somme des angles d’un triangle) :
« Soit le triangle ABC ; je prolonge le côté AB et je mène par le sommet B la ligne droite BE parallèle au côté opposé AC. »
Viennent ensuite des considérations très simples sur les angles et la propriété P est démontrée.

Oui, mais à la condition que nous puissions mener par le sommet B une ligne droite BE parallèle au côté opposé AC.
Pour cela, il faut que nous admettions le cinquième postulat d’Euclide que l’on peut formuler comme suit :
« Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée. »

Or, il s’agit bien d’un axiome et les mathématiciens ont construit des géométries non euclidiennes, tout aussi cohérentes que la géométrie euclidienne, en conservant tous les axiomes d’Euclide, sauf le cinquième.
Dans ces géométries, le triangle n'a pas la propriété P.

Mieux encore, la propriété P peut être considérée comme un axiome et, dans ce cas, on démontre le cinquième postulat d’Euclide : c’est le théorème de Legendre :

« S'il existe un triangle dont la somme des angles est égale à deux angles droits, alors cette somme est la même pour tous les triangles, et le cinquième postulat d'Euclide est vrai. »

En résumé, la propriété P à laquelle Spinoza se réfère au moins une dizaine de fois dans ses écrits, ou bien n’est vraie et n’appartient à l’essence du triangle que si l’on admet le cinquième postulat d’Euclide, ou bien doit être considérée comme un axiome.

Reprenant le passage du scolie du corollaire 2 d’E I 17 cité ci-dessus, il faut dire, à mon avis, que, contrairement à ce qu’écrit Spinoza, « Dieu peut faire que de la nature du triangle il ne suive pas que ses trois angles soient égaux à deux droits ; […] ».
Il suffit, pour cela, que Dieu rejette le cinquième postulat d’Euclide et en admette un autre.

Constatons toutefois que la propriété P ne sert qu’à illustrer des thèses et non à les démontrer.
La relativisation de cette propriété n’a donc pas d’effet sur la validité des démonstrations.

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hokousai
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MessagePosté le: 28/12/2013 09:52    Sujet du message: Répondre en citant

il me semble que l'essentiel est dans
de la même façon que vous savez que
C'est sur la manière que Spinoza insiste et pas sur l' objet de la connaissance. Le mode de certitude est le même pour Dieu que pour la somme des angles dans le contexte donné.
Dans le contexte euclidien il y a certitude, dans un autre contexte (riemanien) il y a certitude.

Par ailleurs Dieu dans chaque contexte ne peut faire autre chose que ce que le contexte impose.

Cela dit Spinoza n' a jamais dit que Dieu choisissait les postulats mathématiques, sinon en tant qu'il pense l' esprit humain.
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